日前，凯时集团有限公司物理学院张向东教授课题组和集成电路与电子学院孙厚军教授课题组合作，在基于经典电路实现非欧几何拓扑态研究方面取得重要进展。相关研究成果发表在近期的Nature Communications (13, 2937(2022))上，研究工作得到了国家自然科学基金委和国家重点研发计划的资助。凯时集团有限公司物理学院张蔚暄博士(现集成电路与电子学院特立博士后)和袁昊博士(2020级)为论文的共同第一作者。

探索新奇的拓扑物态是物理学领域中引人入胜的研究方向之一。自1980年整数量子霍尔效应被发现以来，大量不同类别的拓扑物态被相继提出。新奇的拓扑物态可以存在于性质完全不同的系统中，包括从量子到经典，从低维到高维，从厄米到非厄米，从周期到无序，从线性到非线性，从静态到动态，从单体到多体等。迄今为止，绝大部分拓扑物态都是在具有零曲率的欧几里得空间中被发现的。对于非欧几里得空间中拓扑物态的研究少之又少。实验观察非欧几何空间中的拓扑物态更是从来都没有被报道过。

对于非欧几何的理论研究最早可以追述到1792年，当时数学界首屈一指的巨匠高斯就已经产生了非欧几何思想的萌芽，到1817年已经达到了较为成熟的程度。他最初把这种新几何称为“反欧几何”，最后改为“非欧几何”。 非欧几何在自然界中广泛存在，并在许多不同的研究领域发挥着重要作用，例如数学研究中的黎曼几何、理论物理学中的Ads/CFT全息原理、以及爱因斯坦的广义相对论等。最近，研究人员利用共面波导谐振器实验实现了双曲晶格对应的材料模型。需要指出的是双曲晶格是非欧几里得空间中一类非常重要的晶格模型，其对应于常数负曲率空间中的正多边形晶格平铺结构。该实验极大推动了人们对于双曲晶格不同物理特性的理论研究，包括双曲能带理论和双曲晶体学等。双曲晶格与欧氏晶格最重要的区别是：双曲晶格边界格点的数目接近甚至大于体内格点的数目，并且这一关系在热力学极限下仍然成立。另一方面，根据体边界对应原理，拓扑物态通常具有新奇的边界响应。因此一个有趣的问题是：能否将双曲晶格和拓扑物态独特的边界性质相结合，在双曲空间中构造出不同于欧氏几何拓扑态的双曲拓扑态。如果双曲拓扑态存在，在实验上又该如何观察这些新奇的拓扑物态？

研究亮点之一：边界统治的双曲反常量子霍尔效应及电路实现。

图1. 边界统治的双曲反常量子霍尔效应。

为了探究双曲几何和拓扑边界态的相互作用，研究人员首先将Haldane模型直接推广到{6,4}双曲晶格系统中，如图1a-1c所示。简单来讲，就是在{6,4}双曲晶格的每一个六边形结构中，都引入实数最近邻耦合和复数次近邻耦合。新生成的模型被称为双曲Haldane模型。通过直接数值对角化的方法，可以求得有限{6,4}双曲Haldane模型的本征能谱和相应的本征态分布，如图1d和1e所示。可以清晰的看到，能量为零附近的本征态为双曲边界态。为了进一步证明双曲边界态的拓扑属性，研究人员计算了实空间Chern数，如图1f所示。可以看到双曲边界态能谱所对应的实空间Chern数具有非平庸的拓扑平台，说明其具有类似于反常量子霍尔效应的拓扑属性。而实空间Chern数没有达到1是由于有限的格点数目导致的。进一步利用耦合模方程，研究人员研究了双曲边界态的单向拓扑传输特性，如图1g所示。可以清晰的看到，双曲拓扑边界态可以绕过缺陷单向传输。相比于欧氏空间的量子反常霍尔边界态，双曲拓扑边界态具有显著增强的边界响应，即拓扑传输的通道(边界点)数目大于或近似等于体内格点的数目。这一新奇的特性为设计高效的拓扑器件提供了新的途径。

图2. 基于双曲电路网络，实验观察双曲反常量子霍尔效应。

基于凝聚态晶格模型与电子线路网路的一致性，研究人员设计并制备了双曲电路(如图2a所示)来观察边界统治的双曲量子反常霍尔效应。图2b和2c分别对应实验测量和理论仿真的电路阻抗结果。电路格点的阻抗响应对应于双曲量子模型的局域态密度。可以看到，双曲体点在红色区域内没有阻抗峰值，表明存在双曲体带带隙。同时，双曲电路的边界格点在该带隙中存在显著的阻抗峰值，表明拓扑边界态的存在。图2d展示的是边界态所对应频率下的电路阻抗分布图。可以看出其与双曲晶格模型中的拓扑边缘态的概率幅分布完全一致。进一步，研究人员通过测量电压波包在双曲电路网路中的时域特性，清晰地证明了边界统治的双曲边界电压传输，如图2e-2j所示。

研究亮点之二：具有分形特点的高阶双曲零能角态及实验观测。

图3. 具有分形特点的高阶双曲零能角态

除了一阶双曲量子反常霍尔边界态，研究人员进一步研究了双曲晶格中的高阶零能角态。所设计的双曲晶格模型显示在图3a中，即在{6,4}双曲晶格中引入二值化(黑线和粉线)的层内和层间最近邻耦合。当最外层的耦合强度对应于弱耦合时，高阶角态就会产生。需要指出的是，不同于欧氏空间中0维角点的几何特性，双曲晶格的有效0维角点对应于具有不同耦合方式的最外层格点间的有效界面(如图3i所示)。图3b和3c展示了利用数值对角化方法计算的双曲能谱和相应本征态的空间分布。可以看到双曲零能模的概率分布局域在最外层的0维格点上，展现了高阶拓扑角态的特性。同时，除了零能模，在另外两个能量附近也存在双曲高阶角态。可以发现与欧氏空间的高阶角态性质相似，双曲高阶角态也总是出现在双曲边界态的带隙中。研究人员从三个方面进一步对高阶零模的拓扑性质进行了证明。首先，通过改变二值化耦合强度的相对关系，双曲能谱发生了带隙闭合再打开的过程。同时，该过程伴随着双曲高阶零能模从无到有的变化过程，是拓扑相变的重要特征。其次，双曲高阶拓扑态具有与C6-高阶拓扑绝缘体相同的拓扑相变特点。最后，通过引入无序可以发现双曲高阶零能角态具有很强的鲁棒性，这与双曲晶格中由干涉引起的局域化效应显著不同。另外研究人员计算了不同尺寸下的双曲能谱和本征态的分布，如图3d-3g所示。图3h给出了双曲零能模的数量与双曲晶格尺寸的关系。可以看到通过增大双曲晶格的尺寸，双曲零能模式的数量也急剧增加。该现象与分形几何结构中的高阶拓扑角态相似。需要强调的是，这一新奇的现象是源于双曲晶格独特的边界响应，即边界格点的数目随双曲晶格层数的增加而呈现指数增长的趋势，使得边界有效0维角点也具有指数增长的特点。

为了在实验上观察双曲高阶零能角态，研究人员设计并制备了相应的双曲电路网络，如图4a所示。图4b和4c分别对应实验测量和理论仿真的电路阻抗结果。可以看到双曲晶格的边界点在蓝色区域所对应的频率范围内有显著的阻抗峰值，而体点在相应频率范围没有阻抗响应，表明双曲边界态存在于双曲体态的带隙中。同时双曲晶格的角点在红色区域内有显著的阻抗峰值，而边界格点在该频率范围没有阻抗峰值。这一现象表明双曲高阶角态存在于双曲边界态的带隙中。为了进一步展现不同双曲高阶角态的空间分布，研究人员对电路的导纳矩阵进行了重构，并利用重构的导纳矩阵得到了不同双曲高阶角态的空间分布图，如图4d所示。可以看出测得的高阶角态分布与双曲晶格模型的结果完全一致。

图4. 基于双曲电路网络，实验观察高阶双曲零能模。

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