日前，凯时集团有限公司物理学院张向东教授课题组和集成电路与电子学院孙厚军教授课题组合作，在非欧几何拓扑态和拓扑电路研究方面取得重要进展。相关工作在Nature Communications上发表[Nat Commun (2023) 14:1083]。凯时集团有限公司物理学院张蔚暄研究员和2022级博士生邸凤潇为论文的共同第一作者，张向东教授为通讯作者。研究工作得到了国家自然科学基金委和国家重点研发计划的资助。

拓扑能带理论为描述量子和经典系统的拓扑属性提供了统一的理论框架。最典型的例子是定义在二维动量空间的陈数(Chern number)，其是量子霍尔效应、量子反常霍尔态，外尔半金属Weyl等拓扑物态的衡量标准。另外，在2n维流形中定义的n阶陈数，可以衡量高维空间的拓扑物态。如具有非平庸二阶陈数的四维量子霍尔态和五维杨单极子。除了陈数以外，拓扑能带理论还在非厄米、非阿贝尔以及高阶拓扑等系统中得到了广泛的应用。迄今为止，拓扑能带理论主要是基于欧几里德空间的布洛赫定理构建的，其位置和动量空间具有一致的维度。如何在非欧几里得空间中构造拓扑能带理论，揭示非欧几里得空间的体-边对应关系，是有待解决的重要问题。

近期，具有常数负曲率的双曲晶格模型引起了人们广泛的关注。研究人员利用共面波导谐振器[Nature 571, 45 (2019)]和人工经典电路[Nat. Commun. 13, 4373 (2022)]实现了对双曲晶格的有效模拟。随后在双曲晶格系统中，边界统治的量子反常霍尔态和高阶拓扑角态也被发现并在拓扑电路平台被实现[Nat. Commun. 13, 2937 (2022)]。由于缺乏空间平移对称性，双曲拓扑态无法利用动量空间定义的拓扑不变量来衡量，其只能通过位置空间的拓扑不变量来描述。

双曲能带理论的提出，为构建非欧几里得空间的拓扑能带理论带来了曙光[Sci. Adv. 7, eabe9170 (2021)]。研究人员发现多种类型的双曲晶格满足Fuchsian平移对称群。该对称群是非阿贝尔平移群，具有一维和高维的群表示。有趣的是，人们发现通过设计有限尺寸双曲晶格的周期性边界条件，系统高维群表示所对应的本征态可以完全消失，使其可以被U(1)双曲能带理论精确描述[Proc. Natl Acad. Sci. USA 119, e2116869119 (2022)]。另外，由于Fuchsian平移对称群的非阿贝尔特性，二维双曲晶格的动量空间是高维环曲面，其与高维欧几里得空间的动量空间相对应。这一新奇的性质引发重要的问题：能否在二维双曲晶格系统中，构建具有高阶拓扑不变量的双曲拓扑态？在实验上又该如何观察具有高阶拓扑不变量的新奇双曲拓扑态？

研究亮点之一：理论构建具有二阶陈数的双曲能带拓扑态

研究人员考虑具有{8,8}布拉维晶格的双曲模型，其具有四维动量空间的性质，如图1a所示。原包内部的四个子格点具有不同的在位能。沿着四个动量方向的包间耦合显示在图1b中。图1c-1e展示了不同在位能下，双曲晶格模型的能带结构(k1=k4=0)和拓扑不变量。可以看到通过调节在位能的大小，双曲能带从半金属态(图1c)过渡到具有非零二阶陈数(图1d)和非零陈数(图1e)的双曲拓扑态。

图1 具有非平庸二阶陈数的双曲晶格模型

为了研究非平庸双曲晶格的边界态，研究人员构建了具有12个原包的有限双曲模型。12个原包的具体位置在图1a被字母标记(‘a’到‘l’)。图2a和2b显示的是利用直接对角化和双曲能带理论计算的有限周期双曲晶格的本征能谱。可以看到两者完全吻合，证明了双曲能带理论的有效性。具有非平庸二阶(图2a)和一阶(图2b)陈数的拓扑带隙用橘黄色的区域标记出来，而蓝色区域对应平庸带隙。图2c和2d分别显示了具有非平庸二阶和一阶陈数的有限双曲周期晶格的体模式分布图。为了观察双曲拓扑诱导的边界态，研究人员进一步构建了具有部分周期边界条件的双曲晶格模型，其本征能谱显示在图2e和2f中。可以清楚的看到，具有非零二阶(图2e)和一阶(图2f)陈数的带隙中出现了边界局域态，而平庸带隙中没有边界态产生。二阶和一阶陈数诱导的边界态空间分布显示在图2g和2e中。上述结果清晰的显示，具有非平庸二阶(和一阶)陈数的双曲带隙中存在双曲拓扑边界态。

图2 具有12个原包的有限尺寸双曲拓扑模型

研究亮点之二：基于拓扑电路观察具有二阶陈数的双曲能带拓扑态

基于凝聚态晶格模型与电子线路网络的一致性，研究人员设计并制备了双曲电路网络(如图3a所示)实验上观察二阶陈数诱导的双曲拓扑边界态。图3b显示了对应于有效复数耦合的电路结构图。需要强调的是，与之前的平面双曲电路不同，具有周期边界的有限尺寸双曲晶格具有大量的非面内长程耦合。首先，研究人员对具有周期边界的有限双曲电路进行了实验测量。图3c和3d显示了实验测得的电路本征能谱，其中非平庸和平庸的带隙分别被橘黄色和蓝色区域标记。可以清晰的看到具有二阶和一阶陈数的双曲电路频谱与晶格模型能谱具有很好的一致性。图3e和3f以及3g和3h分别对应实验测量和理论仿真的电路阻抗结果。结果显示对应能隙的频率范围没有阻抗峰，表明双曲体带带隙的存在。图3i(二阶陈数)和3j(一阶陈数)展示的是体态对应频率下的电路阻抗分布图。可以看出其与双曲晶格模型中的本征态概率幅分布完全一致。

图3 具有周期边界条件的有限双曲电路实验结果

进一步，研究人员对具有部分开边界的双曲电路样品进行了实验测量。图4a和4d以及4b和4e分别对应实验测量和理论仿真的电路阻抗结果。可以看到双曲电路的边界格点在具有非零二阶(图4a和4b)以及一阶(图4d和4e)陈数的带隙区域具有显著的阻抗响应，而在平庸带隙没有阻抗峰值。图4c和4f进一步显示了边界态所对应频率下的电路阻抗分布图。可以清楚的看到，具有非零二阶和一阶陈数的双曲拓扑带隙中存在边界态，其空间分布与理论模型完全一致。

图4 具有部分周期边界条件的有限双曲电路实验结果

该工作揭示了二维双曲晶格中，具有定义在四维动量空间的二阶陈数诱导的新奇双曲拓扑态。与先前基于二维拓扑泵浦和非局部电路连接来实现四维量子霍尔效应的实验不同，该工作动量空间的维度扩展完全源于负曲率空间Fuchsian平移群的非阿贝尔特性。另外，基于其它四维拓扑态的哈密顿量来反向设计二维双曲晶格模型，可以理论揭示更多新奇的双曲物态。更高维度的动量空间(例如{12,12}和{16,16}对应于六维和八维动量空间)也可以在二维双曲晶格被实现，其为探索高维度能带拓扑态提供了新的途径。

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